Théorème de la division euclidienne

Théorème

Soit $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .
Il existe un unique couple d’entiers relatifs $(q;r)$ tel que $a=bq+r$ et \(0 \leqslant r.

Définitions

L’égalité $a=bq+r$ est appelée la division euclidienne de  $a$ par $b$ .
L’entier $a$ est le dividende,  $b$ est le diviseur,  $q$ est le quotient et  $r$ est le reste.

Remarque

D’un point de vue graphique, dans la division euclidienne de  $a$ par  $b$ :

Exemples

• La division euclidienne de  $85$ par  $3$ s’écrit : $85=3\times 28+1$ avec $0⩽1<3$ . 
  C’est aussi la division euclidienne de  $85$ par $28$ , car $0⩽1<28$ .
• La division euclidienne de  $29$ par  $10$ s’écrit : $29=10\times 2+9$ avec $0⩽9<10$ .
  En revanche, ce n’est pas la division euclidienne de  $29$ par $2$ , car $9>2$ . Cette seconde division euclidienne s’écrit : $29=2\times 14+1$ avec $0⩽1<2$ .
  
• La division euclidienne de  $12$ par  $14$ s’écrit : $12=14\times 0+12$ avec $0⩽12<14$ .
  
• La division euclidienne de  $37$ par  $4$ s’écrit : $37=4\times 9+1$ avec $0⩽1<4$ .
  
• La division euclidienne de  $-37$ par  $4$ s’écrit : $-37=4\times (-10)+3$ avec $0⩽3<4$ .